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exercices et corrigés
FEUILLE DE TD N°12 : INTÉGRATION.
FIT 1
Exercice 1. Montrer que les fonctions suivantes n’admettent pas de primitive sur R :
/(*)
1 si x > 0 5W \ 1 si a; ^ 0 '
Ces fonctions n’entrent donc pas dans le cadre des fonctions que nous intégrons dans ce cours.
Dites cependant comment on pourrait donner un sens
11
`a f(x)dx et g(x)dx.
-1 -1
Exercice 2. Linéariser cos x cos 3x cos 5x. En déduire :
/
o
cos t cos 3t cos 5tdt.
Exercice 3. Calculer :
f1 x 2 f1 xA f1'2 dx
L —zdx> L (x +D^^ + i)^ et ! (^TF'
Exercice 4. Calculer à l’aide d’une intégration par partie :
fxalnxdx, j amsmxdx, j aict&nxdx et
f x3exp(ax)dx.
Exercice 5. Calculer, en précisant le domaine de définition, les intégrales suivantes à l’aide d’un changement de variable :
f dx f dx i
^' ^'
dx cos a; sin a;' dx
tt/4
tan4 xdx et
dx
et
e
(lnx)n
x
dx
dx,
1
sinhxcoshx
e2x+ex + 1 e* + 2e-x coslrV
Exercice 6. Calculer les primitives suivantes en précisant leur domaine de définition :
f xdx
: intégration par partie, cos x ln(l + cos x)dx : intégration par
partie,
f dx
J xVI + x
J^TÏdx
fxeœcsmxdx
dx
: changement de variable,
int´egration par partie et : changement de variable,
changement de variable et : int´egration par partie,
: deux changements de variables,
int´egration par partie
:,
puis poser u = 1 + x3
ln(fà-l)dx
fln(x+Vl+x2)dx
: changement de variable,
int´egration par partie et : changement de variable,
directement ou deux : int´egration par parties,
: poser t = arctanx.
chxsin2xcfa
(l + x2)^* sin2x
\/l + VTH
c2lnx
dx
: poser u = cos x,
j^dx
J COS 3x
J (f+ x3)2 fsm2xcos2xdx
7V
Exercice 7. Soient les intégrales I
= x cos2 xdx et J= x sin2 xdx. Jo Jo
Calculer / + J et en déduire I et J.
X
Exercice 8. Calculer :
cost
-----—-----dt, lorsque cela est défini.
cost + smt
I(x) = f -----—-----dt et J(x) = f
0 cost + smt 0
Exercice 9. Calculer :
tt/2
dt cos t + sin t
de deux façons différentes et
dt cost + sint + 2'
2
FIT 1
Exercice 10.
(1) Soit / une fonction continue sur [a, b] telle que pour tout x de [a, b] , /(x) = f(a + b-x).
b b
Calculer J = xf(x)dx en fonction de I = f(x)dx.
a a
(2) En déduire le calcul de J = /----dx.
b _________________ b
(3) Calculer l’intégrale / = / yj{x - a)(b - x)dx. En déduire J = / xy/{x - a)(b - x)dx.
a a
Exercice 11. Calculer dx et dx
^/(a;-l)(3-a;) x + VxTTÎ
Exercice 12. On se propose de donner deux méthodes permettant de calculer par récurrence In = ^
(1) Faire une intégration par partie pour exprimer /„ en fonction de In+1. En déduire que :
2nln+1 = (2n - l)In +-----^.
(2) Faire un changement de variable t = arctanx et montrer que le calcul de /„ se ramène à celui de Jp= f cos^ tdt, pour un entier p que l’on déterminera en fonction de n. Comment peut-on calculer Jp ?
Exercice 13. On considère la suite /„ = / sinn xdx, (intégrale de Wallis).
(1) Justifier que /„ =
o
tt/2
cos™ xdx.
(2) Calculer Jo et h.
(3) Montrer que la suite /„ converge.
(4) Etablir une relation de récurrence liant In+2 et /„.
(5) Montrer que le produit (n + l)InIn+1 est constant.
(6) Calculer lim /„, lim ^ et lim InJE.
Exercice 14. Pour tout entier n G N et tout réel x G] - 7r/2,7r/2[, on pose : In(x) = / tan™ tdt.
Jo
(1) Calculer h et I2.
(2) Pour tout n G N, trouver une relation de récurrence entre /„ et In+2. En déduire le calcul de I4. 3 Montrer que la suite définie par J„ = IJtt/A) est décroissante et convergente. Calculer lim J„.
Exercice 15. On pose F(x) =
dt 0 2 + cos t '
(1) Montrer que la fonction F est définie sur R et impaire.
(2) Calculer F(x) pour x G] - ir,ir[ et en déduire F(ir).
(3) Montrer que pour tout x £R, F(x + 2tt) = F(x) + -^L
V3
(4) Soit k G Z. Calculer F(tt + 2kir) et en déduire F(x) pour x G] - tï + 2kiï,Tï + 2kiï[.
Stv/2 j,
(5) Calculer / -----------.
Jn/2 2 + COSt
Exercice 16. Soit I(x) = [ sintcostln (—)dt.
x Vcost/
(1) Déterminer le domaine de définition de / et les éventuels prolongements par continuité.
(2) Justifier l’utilisation du changement de variables x = ir/2 - x et l’utiliser pour calculer I(x).
(3) Calculer de deux façons différentes I'(x).
Exercice 17. Montrer que pour tout réel x :
sin a cos a
arcsin Vtdt + arccos Vtdt = tt/4.
o Jo
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