FEUILLE DE TD N°12 : INTÉGRATION. 
FIT 1 
/(*) 
Exercice 1. Montrer que les fonctions suivantes n’admettent pas de primitive sur R : 
1 si x > 0 5W \ 1 si a; ^ 0 ' 
Ces fonctions n’entrent donc pas dans le cadre des fonctions que nous intégrons dans ce cours. Dites cependant comment on pourrait donner un sens 
11 
`a f(x)dx et g(x)dx. 
-1 -1 
Exercice 2. Linéariser cos x cos 3x cos 5x. En déduire : 
/ 
o 
cos t cos 3t cos 5tdt. 
Exercice 3. Calculer : 
f1 x 2 f1 xA f1'2 dx 
L —zdx> L (x +D^^ + i)^ et ! (^TF' 
Exercice 4. Calculer à l’aide d’une intégration par partie : 
fxalnxdx, j amsmxdx, j aict&nxdx et 
Exercice 5. Calculer, en précisant le domaine de définition, les intégrales suivantes à l’aide d’un changement de variable : 
f x3exp(ax)dx. 
f dx f dx i 
^' ^' 
 
 
dx cos a; sin a;' dx 
 
tt/4 
 
tan4 xdx et 
dx 
et 
 
(lnx)n 
x 
dx 
dx, 
: intégration par partie, cos x ln(l + cos x)dx : intégration par 
e2x+ex + 1 e* + 2e-x coslrV sinhxcoshx 
Exercice 6. Calculer les primitives suivantes en précisant leur domaine de définition : f xdx 
f dx 
J xVI + x 
J^TÏdx 
fxeœcsmxdx 
dx 
partie, 
\/l + VTH 
c2lnx 
J (f+ x3)2 fsm2xcos2xdx 
dx 
: changement de variable, 
int´egration par partie et : changement de variable, 
changement de variable et : int´egration par partie, 
: deux changements de variables, 
int´egration par partie 
:, 
puis poser u = 1 + x3 
ln(fà-l)dx 
fln(x+Vl+x2)dx 
j^dx 
J COS 3x 
chxsin2xcfa 
(l + x2)^* sin2x 
: changement de variable, 
int´egration par partie et : changement de variable, 
directement ou deux : int´egration par parties, 
: poser t = arctanx. 
: poser u = cos x, 
7V 
Exercice 7. Soient les intégrales I Calculer / + J et en déduire I et J. 
cost 0 cos t + sin 
Exercice 9. Calculer : 
= x cos2 xdx et J= x sin2 xdx. Jo Jo 
Exercice 8. Calculer : 
I(x) = f -----—-----dt et J(x) = f 
0 cost + smt 0 
-----—-----dt, lorsque cela est défini. 
cost + smt 
 
tt/2 
dt cos t + sin t 
de deux façons différentes et 
dt cost + sint + 2' 
e 
 
1 
X 
 
2 
FIT 1 
Exercice 10. 
(1) Soit / une fonction continue sur [a, b] telle que pour tout x de [a, b] , /(x) = f(a + b-x). 
b b 
Calculer J = xf(x)dx en fonction de I = f(x)dx. 
a a 
(2) En déduire le calcul de J = /----dx. 
b _________________ b 
(3) Calculer l’intégrale / = / yj{x - a)(b - x)dx. En déduire J = / xy/{x - a)(b - x)dx. 
a a 
Exercice 11. Calculer dx et dx 
dx da 
------- et--------- 
^/(a;-l)(3-a;) x + VxTTΠ
Exercice 12. On se propose de donner deux méthodes permettant de calculer par récurrence In = ^ 
(1) Faire une intégration par partie pour exprimer /„ en fonction de In+1. En déduire que : 
2nln+1 = (2n - l)In +-----^. 
(2) Faire un changement de variable t = arctanx et montrer que le calcul de /„ se ramène à celui de Jp= f cos^ tdt, pour un entier p que l’on déterminera en fonction de n. Comment peut-on calculer Jp ? 
Exercice 13. On considère la suite /„ = / sinn xdx, (intégrale de Wallis). 
Jo 
(1) Justifier que /„ = 
o 
tt/2 
cos™ xdx. 
(2) Calculer Jo et h. 
(3) Montrer que la suite /„ converge. 
(4) Etablir une relation de récurrence liant In+2 et /„. 
(5) Montrer que le produit (n + l)InIn+1 est constant. 
(6) Calculer lim /„, lim ^ et lim InJE. 
Exercice 14. Pour tout entier n G N et tout réel x G] - 7r/2,7r/2[, on pose : In(x) = / tan™ tdt. 
Jo 
(1) Calculer h et I2. 
(2) Pour tout n G N, trouver une relation de récurrence entre /„ et In+2. En déduire le calcul de I4. 3 Montrer que la suite définie par J„ = IJtt/A) est décroissante et convergente. Calculer lim J„. 
Exercice 15. On pose F(x) = 
dt 0 2 + cos t ' 
(1) Montrer que la fonction F est définie sur R et impaire. 
(2) Calculer F(x) pour x G] - ir,ir[ et en déduire F(ir). 
(3) Montrer que pour tout x £R, F(x + 2tt) = F(x) + -^L 
V3 
(4) Soit k G Z. Calculer F(tt + 2kir) et en déduire F(x) pour x G] - tï + 2kiï,Tï + 2kiï[. 
Stv/2 j, 
(5) Calculer / -----------. 
Jn/2 2 + COSt 
Exercice 16. Soit I(x) = [ sintcostln (—)dt. 
x Vcost/ 
(1) Déterminer le domaine de définition de / et les éventuels prolongements par continuité. 
(2) Justifier l’utilisation du changement de variables x = ir/2 - x et l’utiliser pour calculer I(x). 
(3) Calculer de deux façons différentes I'(x). 
Exercice 17. Montrer que pour tout réel x : 
sin2 a cos2 a 
arccos 
sin a cos a 
arcsin Vtdt + arccos Vtdt = tt/4. 
o Jo